Probleme beim Starten + Problem mit Kühlsystem | OPEL CORSA D

Hey, habe mir vor 2 Monaten einen gebrauchten Opel Corsa D (Bj. 2006) gekauft und hatte nach ca. 4 Wochen starke Probleme beim Anlassen sowie Probleme mit dem Kühlsystem. Es gab 2 verschiedene Probleme beim Anlassen: 1. Der Motor startete, ging aber nach einigen Sekunden wieder aus (lag an alter Batterie) 2. Der Motor startete und blieb auch an, allerdings hat er extrem geruckelt und das Auto hat gewackelt, weshalb ich dann meist das Auto wieder ausgemacht habe. Daraufhin war ich in der Werkstatt. Dort wurde das Kühlsystem nach Lecks abgetastet und neue Kühlflüssigkeit eingefüllt. Zudem wurde eine neue Batterie, neue Zündkerzen sowie -spulen eingebaut und das AGR-Ventil erneuert. Und natürlich wurde der Fehlerspeicher ausgelesen. Jetzt habe ich mein Auto wieder, habe nun aber wieder Startprobleme, allerdings neue. Sobald ich den Zündschlüssel rumdrehe, ist ein ganz kurzes Husten zuhören (nicht länger als 1 Sekunde), danach ist er aber komplett stumm. Und sobald ich denn Zündschlüssel wieder zurückdrehe, zittert die Drehzahlnadel kurz. Wenn ich ihn dann mal zum Starten bekommen habe, stinkt es aus dem Auspuff und es raucht auch sehr aus dem Auspuff, auch nach dem Abstellen nach einer kurzen Fahrt. Zudem leuchtet wieder die Kühlmittelleuchte, also dass das Kühlmittel zu heiß ist. Nun ist die Frage, was es sein könnte, da ich mittlerweile sehr verzweifelt bin und nicht weiß, ob es eventuell auch mit der Kühlflüssigkeit zusammen hängen kann. Ich hoffe nicht, dass es etwas mit dem Anlasser ist, da diese Reparatur ja auch kostenintensiv ist.