Kaltstartprobleme: Motor ruckelt im Notlauf | BMW 5

Hallo liebe Community, Ich habe einen BMW 523i F10/F11, der beim Kaltstart zunehmend unrund läuft und einen Antriebsfehler anzeigt. Daraufhin geht er in den Notlauf. Nachdem man ihn ein paar Mal an- und ausgeschaltet und ein paar Meter gefahren ist, fängt er sich wieder, wenn er etwas wärmer wird, und läuft dann besser. Ich war schon bei mehreren Werkstätten. Eine Werkstatt hat neue Zündkerzen, Zündspulen und einen neuen Ventildeckel eingesetzt. Daraufhin lief das Auto etwas besser, aber das hat wieder nachgelassen. Das Auto hat rund 316.000 km gelaufen (der Vorbesitzer sagte, es wäre ein Austauschmotor mit ca. 80.000 km). Laut der Werkstatt, bei der ich war, hat er aber viel mehr runter (mindestens 200.000-250.000 km nach Aussage). Die Werkstatt konnte das Problem nicht finden. Deshalb wende ich mich an euch und wollte fragen, ob jemand vielleicht eine Idee hat. Ich habe schon mit vielen Werkstätten schlechte Erfahrungen gemacht und hoffe, dass mir da jemand weiterhelfen kann. Danke euch!